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德国数学家克罗内克有一句名言: “上帝创造了自然数, 其余都是人造的。”人类从蛮荒时代开始结绳记数。随着分配猎获物的需要, 数的加减乘除也很“自然”地开始使用,于是有了自然数。后来因减法的需要出现了负数, 因除法的封闭性引入分数, 更因开方的通行无阻出现实数和复数, 这些就都不是“自然”的了。
第一个“人为”的数是正分数。从逻辑上看, 应该是先有负整数,再有分数, 但是历史顺序却正好相反。负数最早出现于中国的《九章算术》( 约公元前 1 世纪成书) , 而有历史记录的分数则出现在古埃及的纸草书上, 距今约 4000 年。《九章算术》也叙述了完整的分数知识。中文数学名词 “三分之一”“几分之几”, 确实既精确又达意,比起英文的 “one–third ( 一和第三) ”来, 要容易理解得多。东亚许多使用汉字的国家和地区, 学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好,据说与此有关。
时至今日, 分数知识是普通百姓数学素养的组成部分之一。全世界的学生, 无一例外地要学习分数。欧美各国的数学课程, 分数大多放在中学( 六至七年级), 我国的分数则要早些, 20 世纪 60 年代, 分数内容安排在五年级, 现在则在三年级或四年级就开始学习了。
1.分数是我们认识自然数以后的“新朋友”。
各国的分数教学, 多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的。如, 将一个圆形大饼平均切成四块, 每块是整个大饼的 1/4 , 读作四分之一。一般地, 将一个单位平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数称为分数。这种用“份数”来定义的分数, 易懂好学。不过, 把它作为教学的切入点可以, 但其内涵却很局限, 尤其不可形成思维定势。
分数的真正来源在于自然数除法的推广。一个大饼, 由四个人平均分, 得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量, 依除法的意义, 应该是 1÷4 所得的商。可是, 这种除数大于被除数的除法, 以前不能除, 因而也没有“商”。于是, “创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做老朋友, 把 1÷4 的商看做新朋友, 它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”, 任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义: 分数是两个自然数 a 和 b(b≠0)相除的商。a÷b 的商是新数 a/b , 读作 b 分之 a。当 b=1时, 分数就是自然数。
总之, 由“份数”
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